Question

已知二次函数f（x）=4x²-2（p-2）x-4，若在区间[-1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0，则实数p的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，故二次函数f（x）在区间[-1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的否定为：对于区间[0，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，即f（0），f（1）均小于等0，由此可以构造一个关于p的不等式组，解不等式组，找出其对立面即可求出实数p的取值范围．

解答： 解：二次函数f（x）在区间[0，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0，
该结论的否定是：对于区间[0，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，
由

f(-1)=2p-4≤0 f(1)=4-2p≤0

，求得p=2．
∴二次函数在区间[-1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的实数p的取值范围是p≠2，
故答案为：{p|p≠2}．

点评：本题考查了一元二次方程根的分布和二次函数的单调性和值域等知识，属于中档题．同学们要注意解题过程中运用反面的范围，来求参数取值范围的思路，属于基础题．