Question

一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．
（1）求第2行和第3行的通项公式和；
（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列；
（3）求关于（）的表达式．

Answer 1

(1),；（2）证明见解析，；（3）．

试题分析：（1）根据定义，，因此
，；（2）由于第行的数依赖于第的数，因此我们可用数学归纳法证明；（3）设第行的公差为，
，而
，从而，即，于是有，由此可求得数列是公差为1的等差数列，而，由等差数列通项公式得，从而有．
试题解析：（1）
． （4分）
（2）由已知，第一行是等差数列，
假设第行是以为公差的等差数列，则由

（常数）
知第行的数也依次成等差数列，且其公差为.
综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列．        （9分）
（3）由于，所以，      （11分）
所以，
由得，               （13分）
于是，即，         （15分）
又因为，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，，所以（）．   （18分）