Question

19．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足$\frac{a+c}{a+b}$=$\frac{b-a}{c}$．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC最大边的边长为$\sqrt{14}$，且sinA=2sinC，求最小边长．

Answer 1

分析 （1）整理已知等式可得：ac+c²=b²-a²，利用余弦定理可得cosB的值，结合范围0＜B＜π，即可求B的值．
（2）由B=$\frac{2π}{3}$，可知最长边为b=$\sqrt{14}$，由sinA=2sinC，可得a=2c，c为最小边，由余弦定理即可解得最小边c的长．

解答 解：（1）∵由$\frac{a+c}{a+b}$=$\frac{b-a}{c}$，整理可得：（a+c）c=（b-a）（a+b），即：ac+c²=b²-a²，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{-ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵B=$\frac{2π}{3}$，
∴最长边为b=$\sqrt{14}$，
∵sinA=2sinC，可得：a=2c，
∴c为最小边，由余弦定理可得：（$\sqrt{14}$）²=4c²+c²-2×$2c×c×（-\frac{1}{2}）$，
∴解得c=$\sqrt{2}$，即最小边长为$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．