Question

10．设函数f（x）=$\frac{（{e}^{x}+{e}^{-x}）^{2}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$-1，x∈[-2，0）∪（0，2]的最大值为M，最小值为m，则M+m=-2．

Answer 1

分析 化简函数f（x）+1=$\frac{（{e}^{x}+{e}^{-x}）^{2}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，设g（x）=$\frac{（{e}^{x}+{e}^{-x}）^{2}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，则函数g（x）是定义域[-2，0）∪（0，2]上的奇函数；由f（x）的最大值与最小值，得出g（x）的最大值与最小值，由此求出M+m的值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{（{e}^{x}+{e}^{-x}）^{2}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$-1，
∴f（x）+1=$\frac{（{e}^{x}+{e}^{-x}）^{2}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$
设g（x）=$\frac{（{e}^{x}+{e}^{-x}）^{2}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，则函数g（x）是定义域[-2，0）∪（0，2]上的奇函数；
又f（x）的最大值为M，最小值为m，
∴g（x）的最大值是M+1，最小值是m+1；
∴（M+1）+（m+1）=0，
则M+m=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，是中档题．