Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线x-y+a=0交于A、B两点，且|AB|=2，求a的值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：

分析：（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线x-y+a=0交于A、B两点，且|AB|=2，求a的值．

解答： 解：（1）由y=x²-6x+5=0得，x=1或x=5，即x轴上的交点坐标为（1，0），（5，0），
当x=0时，y=5，即y轴上的交点坐标为（0，5），
设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0；
则

1+D+F=0 25+5D+F=0 25+5E+F=0

，
解得D=-6，E=-6，F=5，
即圆C的方程为x²+y²-6x-6y+5=0
（2）根据（1）的结论x²+y²-6x-6y+5=0转化为标准式：（x-3）²+（y-3）²=13，
圆心C（3，3），半径r=

13

，
若圆C与直线x-y+a=0交于A、B两点，且|AB|=2，
则圆心到直线x-y+a=0的距离d=

( 13 )2-1

=

12

=2

3

，
即

|a|

2

=2

3

，则|a|=2

6

，
则a=±2

6

．

点评：本题考查圆的方程的求解，利用用待定系数法求圆的一般式，点与圆的位置关系的判定，最短弦与弦心距之间的关系及相关的运算问题．