题目内容
如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；
（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求
| S1 |
| S2 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：向量与圆锥曲线
分析：（Ⅰ）由题意设出直线l1和l2的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到
，
的坐标，然后由向量共线得答案；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知△A1B1C1与△A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．
| A1B1 |
| A2B2 |
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知△A1B1C1与△A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．
解答：
（Ⅰ）证明：由题意可知，l1和l2的斜率存在且不为0，
设l1：y=k1x，l2：y=k2x．
联立
，解得A1(
，
)．
联立
，解得A2(
，
)．
联立
，解得B1(
，
)．
联立
，解得B2(
，
)．
∴
=2p1(
-
，
-
)，
=2p2(
-
，
-
)．
=
，
∴A1B1∥A2B2；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A1B1∥A2B2，
同（Ⅰ）可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2．
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，
因此
=(
)2，
又
=
，
∴
=
．
故
=
．
设l1：y=k1x，l2：y=k2x．
联立
|
| 2p1 |
| k12 |
| 2p1 |
| k1 |
联立
|
| 2p2 |
| k12 |
| 2p2 |
| k1 |
联立
|
| 2p1 |
| k22 |
| 2p1 |
| k2 |
联立
|
| 2p2 |
| k22 |
| 2p2 |
| k2 |
∴
| A1B1 |
| 1 |
| k22 |
| 1 |
| k12 |
| 1 |
| k2 |
| 1 |
| k1 |
| A2B2 |
| 1 |
| k22 |
| 1 |
| k12 |
| 1 |
| k2 |
| 1 |
| k1 |
| A1B1 |
| p1 |
| p2 |
| A2B2 |
∴A1B1∥A2B2；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A1B1∥A2B2，
同（Ⅰ）可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2．
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，
因此
| S1 |
| S2 |
|
| ||
|
|
又
| A1B1 |
| p1 |
| p2 |
| A2B2 |
∴
|
| ||
|
|
| p1 |
| p2 |
故
| S1 |
| S2 |
| p12 |
| p22 |
点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的相似比与面积比的关系，考查了学生的计算能力，是压轴题．
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