Question

9．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AC=9，BC=12，AB=15，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥B₁C；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析 （1）由已知可证AC⊥CC₁，利用勾股定理可证AC⊥BC，可证AC⊥平面BCC₁，又B₁C?平面BCC₁，即可证明AC⊥B₁C；
（2）连接BC₁，交CB₁于E，连接DE，运用中位线定理，以及线面平行的判定定理，即可得证；

解答 证明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AC?平面ABC，
∴AC⊥CC₁，
∵AC=9，BC=12，AB=15，可得：AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，
∵CC₁∩BC=C，
∴AC⊥平面BCC₁，
∵B₁C?平面BCC₁，
∴AC⊥B₁C；
（2）连接BC₁，交CB₁于E，连接DE，
由于D为中点，E为中点，
则DE∥AC₁，DE?平面CDB₁，AC1?平面CDB₁，
则有AC₁∥平面CDB₁；

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理，考查直线与平面垂直的判定定理，考查空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．