Question

19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为（$2\sqrt{6}-4$，$4\sqrt{3}-6$）．

Answer 1

分析 作出f（x）的图象，根据交点个数判断直线的临界位置．根据导数与切线的关系列出方程解出．

解答 解：当2≤x≤3时，f（x）=（x-2）²+2，当3≤x≤4时，f（x）=（x-3）²+3，作出f（x）在[0，4]上的函数图象如图，
设y=k₁x与f（x）在[2，3]上的图象相切于（x₁，y₁），y=k₂x与f（x）在[3，4]上的图象相切于（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}-4={k}_{1}}\\{{（x}_{1}-2）^{2}+2={y}_{1}}\\{{k}_{1}{x}_{1}={y}_{1}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{2}-6={k}_{2}}\\{（{x}_{2}-3）^{2}+3={y}_{2}}\\{{k}_{2}{x}_{2}={y}_{2}}\end{array}\right.$，解得k₁=2$\sqrt{6}$-4，k₂=4$\sqrt{3}$-6．
由函数的对称性可知，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，
则k₁＜k＜k₂．
故答案为（$2\sqrt{6}-4$，$4\sqrt{3}-6$）．

点评 本题考查了函数的图象变换，导数与切线的关系，图象的交点个数与零点的关系，属于中档题．作出函数图象是关键．