Question

已知函数f（x）=|x-1|．
（1）解关于x的不等式f（x）+x²-1＞0；
（2）若f（x）＜-|x+3|+m的解集非空，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）通过对x＜1与x≥1的讨论，即可求得不等式f（x）+x²-1＞0的解集；
（2）f（x）＜-|x+3|+m的解集非空??x∈R，使得|x-1|+|x+3|＜m成立，易求[|x-1|+|x+3|]_min=4，从而可得答案．

解答： 解：（1）当x＜1时，由1-x+x²-1＞0得x＜0；
当x≥1时，由x-1+x²-1＞0得x＞1；
所以，原不等式的解集为：{x|x＜0，或x＞1}；
（2）f（x）＜-|x+3|+m的解集非空??x∈R，使得|x-1|+|x+3|＜m成立，
必须m＞[|x-1|+|x+3|]_min，
因为|x-1|+|x+3|≥|（x-1）-（x+3）|=4，即[|x-1|+|x+3|]_min=4，
故m＞4．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，解题的关键是通过分类讨论去掉绝对值符号，考查等价转化思想与运算能力，属于中档题．