题目内容

如图，在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1=3，AB=3，BC=
3
，E为AB的中点且CE⊥A1E．
（1）求证：平面A1EC⊥平面ABB1A1；
（2）求二面角E-A1C-B1的大小．
考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）由线面垂直，得AA1⊥EC，又A1E⊥EC，从而得到EC⊥面A1EC，由此能证明面A1EC⊥面ABB1A1．
（2）过F作FG⊥A1C，连结B1G，由三垂线定理得B1G⊥A1C，∠B1GF为二面角E-A1C-B1的平面角，由此能求出二面角E-A1C-B1的大小．
解答： 本题满分（12分）
（1）证明：直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，
AA1⊥面ABCD，EC?面ABCD，∴AA1⊥EC
又A1E⊥EC，且AA1∩A1E=A，
∴EC⊥面A1EC，
∵EC?面A1EC，
∴面A1EC⊥面ABB1A1．…（4分）
（2）解：过F作FG⊥A1C，连结B1G，
由三垂线定理得B1G⊥A1C，
∴∠B1GF为二面角E-A1C-B1的平面角，
在Rt△A1FB1中，A1B1=2，sin∠A1B1F=
10
10
，
∴A1F=2•
10
10
=
10
10
，
又△A1FG：△A1EC，
∴
FG
A1F
=
EC
A1C
⇒FG=A1F•
EC
A1C
=
10
5
•
2
2
3
=
15
15
，
又在Rt△B1FG中，tan∠B1GF=
B1F
FG
=
3
5
10
15
15
=3
6
，
∴二面角E-A1C-B1的大小为：arctan3
6
．…（12分）
点评：本题考查面面垂直的证明，考查二面角大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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平面内有向量
OA
=（1，7），
OB
=（5，1），
OP
=（2，1），点M（x，y）为直线OP上的一动点．
（1）用只含y的代数式表示
OM
的坐标；
（2）求
MA
•
MB
的最小值，并写出此时
OM
的坐标．
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2
3
，且每门考试成绩的结果互不影响．
（1）求该同学至少得到两个“A”的概率；
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阅读如图所示算法：
（1）指出该算法表示的功能；
（2）画出算法框图．
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12
3cos2θ+4sin2θ
，点F1，F2为其左右焦点．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
（t为参数，t∈R）．
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（Ⅰ）求证：SA⊥AD；
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SE
=
1
3
SD
，求二面角S-AC-E的余弦值．
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（1）解关于x的不等式f（x）+x2-1＞0；
（2）若f（x）＜-|x+3|+m的解集非空，求实数m的取值范围．

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