Question

某矿产品按纯度含量分成五个等级，纯度X依次为A、B、C、D、E．现从一批该矿产品中随机抽取20件，对其纯度进行统计分析，得到频率分布表如下：

X	A	B	C	D	E
f	a	0.2	0.45	b	c

（Ⅰ）若所抽取的20件矿产品中，纯度为D的恰有3件，纯度为E的恰有2件，求a、b、c的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从纯度为D和E的5件矿产品巾任取两件（每件矿产品被取出的可能性相同），求这两件矿产品的纯度恰好相等的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）通过频率分布表得推出a+b+c=0.35．纯度为D的恰有3件，纯度为E的恰有2件，分别求出b，c，然后求出a；
（Ⅱ）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从纯度为D和E的5件矿产品巾任取两件纯度恰好相等”的事件数，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）由频率分布表得　
a+0.2+0.45+b+c=1，
即a+b+c=0.35，
∵纯度为D的恰有3件，纯度为E的恰有2件，
∴b=

3

20

=0.15，c=

2

20

=0.1，
∴a=0.35-0.15-0.1=0.1．
∴a=0.1，b=0.15，c=0.1；
（Ⅱ）设纯度为D的三件产品分别为D₁，D₂，D₃，纯度为E的两件产品为E₁，E₂，
所有可能的结果为：D₁D₂，D₁D₃，D₁E₁，D₁E₂，
D₂D₃，D₂E₁，D₂E₂，
D₃E₁，D₃E₂，
E₁E₂，
∴所有可能的结果共10个．
设事件A表示“从纯度为D和E的5件矿产品巾任取两件纯度恰好相等”，
则A包含的事件为：D₁D₂，D₁D₃，D₂D₃，E₁E₂，共4个，
所以所求的概率P（A）=

4

10

=

2

5

．

点评：本题考查概率、统计等基本知识，考查数据处理能力、运算能力、应用意识．考查函数与方程思想、分类与整合思想．属于中档题．