Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点F（-1，0），离心率为

2

2

，函数f（x）=

1

2x

+

3

4

x，
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设P（t，0）（t≠0），Q（f（t），0），过P的直线l交椭圆P于A，B两点，求

QA

•

QB

的最小值，并求此时的t的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用左焦点F（-1，0），离心率为

2

2

，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）分类讨论，设直线代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求

QA

•

QB

的最小值，并求此时的t的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵左焦点F（-1，0），离心率为

2

2

，
∴c=1，a=

2

，
∴b=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）若直线l斜率不存在，则

QA

•

QB

=(

1

2t

+

3

4

t)2-2
设直线l：y=k（x-t），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，0），
直线代入椭圆方程可得（2k²+1）x²-4k²tx+2k²t²-2=0，
∴x₁+x₂=

4k2t

1+2k2

，x₁x₂=

2k2t2-2

1+2k2

∴

QA

•

QB

=（k²+1）x₁x₂-（k²t+x₀）（x₁+x₂）+x₀²+k²t²=x₀²-2=(

1

2t

+

3

4

t)2-2≥-2+(2

1 2t • 3 4 t

)2=-

1

2

，
故

QA

•

QB

的最小值为-

1

2

，此时t=±

6

3

．

点评：直线与圆锥曲线的综合问题，通常需要联立方程，利用韦达定理进行解决．