Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R）．
（1）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（3）若a≠0，讨论方程f（x）=0的解的个数，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）a=2时，f（x）=

1

2

x²-2lnx，从而f′（x）=x-

2

x

，求出k=f′（1）=-1，和f（1）=

1

2

，进而求出切线方程，
（2）函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，则f′（x）=x-

a

x

≥0在x∈（1，+∞）恒成立，即a≤x²在x∈（1，+∞）恒成立，故a≤1，
（3）f′（x）=x-

a

x

，分别讨论①a＜0时②a＞0时的情况，从而得出结论．

解答： 解：（1）a=2时，f（x）=

1

2

x²-2lnx，
∴f′（x）=x-

2

x

，
∴k=f′（1）=-1，
又∵f（1）=

1

2

，
∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：
2x+2y-3=0，
（2）函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，
则f′（x）=x-

a

x

≥0在x∈（1，+∞）恒成立，
即a≤x²在x∈（1，+∞）恒成立，
故a≤1，
经检验，符合题意，
∴a≤1；
（3）f′（x）=x-

a

x

，
①a＜0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）是增函数，
取x₁=1，x₂=e

1

e

，
由f（1）＞0，f（e

1

e

）＜0，
得a＜0时，方程f（x）=0有唯一解，
②a＞0时，f′（x）=x-

a

x

=

(x+ a )(x- a )

x

，
∴f（x）在（0，

a

）递减，在（

a

，+∞）递增，
∴f（x）_min=f（

a

）=

1

2

a（1-lna），
0＜a＜e时，f（

a

）＞0，此时方程f（x）=0无解，
a=e时，f（

a

）=0，方程f（x）=0有唯一解，
a＞e时，f（

a

）＜0，方程f（x）=0有2个解，
综上：0＜a＜e时，f（x）=0无解，
a＜0或a=e时，f（x）有唯一解，
a＞e时，f（x）=0有2个解．

点评：本题考察了求曲线的切线方程，函数的单调性，求参数的范围，方程根的情况，导数的应用，是一道综合题．