题目内容

从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离．
（1）求概率P(ξ=
2
)；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．
考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率
专题：综合题,概率与统计
分析：（1）求出从正方体的8个顶点中任取不同2点的所有可能情况，对角线长为
2
的所有可能情况，即可求概率P(ξ=
2
)；
（2）随机变量ξ的取值共有1，
2
，
3
三种情况，求出相应的概率，即可求ξ的分布列、数学期望E（ξ）．
解答： 解：（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有
C
2
8
=28种．
因为正方体的棱长为1，所以其面对角线长为
2
，
正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2×6=12条．
因此P(ξ=
2
)=
12
28
=
3
7
．                     …（3分）
（2）随机变量ξ的取值共有1，
2
，
3
三种情况．
正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是P(ξ=1)=
12
28
=
3
7
．…（5分）
从而P(ξ=
3
)=1-P(ξ=1)-P(ξ=
2
)=1-
3
7
-
3
7
=
1
7
．  …（7分）
所以随机变量ξ的分布列是
ξ 1
2
3
P（ξ）
3
7
3
7
1
7
…（8分）
因此E(ξ)=1×
3
7
+
2
×
3
7
+
3
×
1
7
=
3+3
2
+
3
7
．  …（10分）
点评：本题考查概率知识的运用，考查随机变量ξ的分布列、数学期望，正确计算概率是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知k∈[-2，2]，则k的值使得过点A（0，2）可以作2条直线与圆x2+y2+kx-2y+
5
4
k=0相切的概率为（　　）
A、
1
2
B、
2
3
C、
3
4
D、
1
4
已知函数f（x）=（a+1）x2-2ax-2lnx．
（Ⅰ）求证：a=0时，f（x）≥1恒成立；
（Ⅱ）当a∈[-2，-1]时，求f（x）的单调区间．
在平面直角坐标系中，N为圆C：（x+1）2+y2=16上的一动点，点D（1，0），点M是DN的中点，点P在线段CN上，且
MP
•
DN
=0．
（Ⅰ）求动点P表示的曲线E的方程；
（Ⅱ）若曲线E与x轴的交点为A，B，当动点P与A，B不重合时，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1•k2为定值．
已知函数f（x）=|x-a|（a＞0），且不等式f（x）≥|x+1|的解集为{x|x≤
1
2
}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+|2x+1|，若不等式|2m+n|+|m-n|≥|m|•g（x）对任意m，n∈R且m≠0恒成立，求x的取值范围．
已知命题p：f（x）=
1-a•3x
在x∈（-∞，0]上有意义，命题q：函数y=lg（ax2-x+a） 的定义域为R．如果p和q有且仅有一个正确，试求a的取值范围．
函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（
π
3
）的值为
 
．
在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x-
3
y=0，则双曲线C的离心率为
 
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（　　）
A、a，a
B、a，
a2+b2
C、
a
2
，
3a
2
D、
a
2
，a

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