Question

已知集合A={x|x²+3x+2≥0}，B={x|mx²-4x+m-1＞0，m∈R}，若A∩B=∅，且A∪B=A，求m的取值范围．

Answer 1

考点：交集及其运算,并集及其运算

专题：集合

分析：先化简集合A={x|x²+3x+2≥0}={x|x≤-2或x≥-1}，再由A∩B=∅，得出集合B=∅或B={x|-2＜x＜-1}．再由A∪B=A，得B⊆A，从而有对一切x∈R，mx²-4x+m-1≤0恒成立，再由判别式求解．

解答： 解：由已知A={x|x²+3x+2≥0}={x|x≤-2或x≥-1}，
由A∩B=∅得：
（1）∵A非空，∴B=∅；
（2）∵A={x|x≤-2或x≥-1}，
∴B={x|-2＜x＜-1}；
∵A∪B=A，B⊆A，
∴上面（2）不成立，否则A∪B=R，与题设A∪B=A矛盾，
∴上面（1）成立，即B=∅，
由已知B={x|mx²-4x+m-1＞0}，m∈R结合B=∅，
得对一切x∈R，mx²-4x+m-1≤0恒成立，
于是，有

m＜0 16-4m(m-1)≤0

，
解得：m≤

1- 17

2

，
则m的取值范围是{m|m≤

1- 17

2

}．

点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．