Question

已知函数f（x）=lnx-ax²（a＞0），g（x）=min{x，4-x，2^x-1}，min{s，t}是取s，t中较小者．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若对于任意x₁∈（1，+∞），都存在x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）-g（x₂）=0，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，x＞0，a＞0；从而确定函数的单调区间及极值；
（2）由题意设A={f（x）|x＞1}，B={g（x）|x＞0}，故A?B；化简g（x）=min{x，4-x，2^x-1}=

2x-1，0＜x＜1 x，1≤x≤2 4-x，x＞2

，从而讨论求最值，从而解得．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，x＞0，a＞0；
∴f（x）的减区间是（

1 2a

，+∞），增区间是（0，

1 2a

）；
f（x）_极大值=f（

1 2a

）=-

1

2

（1+ln2a）；无极小值；
（2）依题意：设A={f（x）|x＞1}，
B={g（x）|x＞0}，
故A?B；
g（x）=min{x，4-x，2^x-1}=

2x-1，0＜x＜1 x，1≤x≤2 4-x，x＞2

，
∴B=（-∞，2]；
①若

1 2a

＞1，x∈（1，+∞），f（x）∈（-∞，-

1

2

-

1

2

ln2a）=A?B；
∴-

1

2

-

1

2

ln2a≤2，
∴a≥

1

2

e^-5；
故a∈[

1

2

e^-5，

1

2

）；
②若0＜

1 2a

≤1，在x∈（1，+∞），f（x）∈（-∞，f（1））=A?（-∞，2]；
∵f（1）=-a≤2； 显然成立，
故a≥

1

2

符合题意；
综上所述，a≥

1

2

e^-5．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．