Question

5．已知{a_n}是递增的等差数列，a₃，a₅是方程x²-10x+21=0的两个根．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n-a_n}为首项为1，公比为3的等比数列，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₃，a₅是方程x²-10x+21=0的两个根．根据{a_n}是递增的等差数列，求得a₃=3，a₅=7，根据等差数列性质即可求得d和{a_n}的通项公式；
（2）根据等比数列通项公式，求b_n=3^n-1+（2n-3），根据等比和等差数列前n项和公式，即可求得{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）a₃，a₅是方程x²-10x+21=0的两个根．由（x-3）（x-7）=0，{a_n}是递增的等差数列知，
∴a₃=3，a₅=7，
∵a₅=a₃+2d，
∴d=2，
∴a_n=a₃+（n-3）d=3+（n-3）×2=2n-3，
∴a_n=2n-3，
（2）根据等比数列通项公式可知b_n-a_n=1×3^n-1=3^n-1，
∴b_n=3^n-1+a_n，
∴b_n=3^n-1+（2n-3），
{b_n}的前n项和T_n，
T_n=（3⁰+3¹+3²+…+3^n-1）+[-1+1+3+…+（2n-3）]，
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+$\frac{n（-1+2n-3）}{2}$，
=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$+n（n-2），
T_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$+n（n-2）．

点评 本题考查等差数列性质，考查等比和等比数列通项公式及前n项和公式，考查公式的应用，属于中档题．