题目内容

16．已知函数f（x）=ax3+2x2-1有且只有两个零点，则实数a的取值集合（　　）
A．{-1，0，1}B．{0，$\frac{4\sqrt{6}}{9}$}C．{0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$}D．{-$\frac{4\sqrt{6}}{9}$，0，$\frac{4\sqrt{6}}{9}$}

分析 当a=0时，函数f（x）=2x2-1有且只有两个零点，满足条件；当a≠0时，函数的极值为0，进而得到答案．

解答 解：当a=0时，函数f（x）=2x2-1有且只有两个零点，满足条件；
当a≠0时，令f′（x）=3ax2+4x=0，解得：x=0，或x=-$\frac{4}{3a}$，
∵f（0）=1≠0，
∴f（-$\frac{4}{3a}$）=$\frac{32}{27{a}^{2}}-1=0$，
解得：a=$±\frac{4\sqrt{6}}{9}$，
故a∈{-$\frac{4\sqrt{6}}{9}$，0，$\frac{4\sqrt{6}}{9}$}，
故选：D

点评 本题考查的知识点是函数的零点及零点个数，分类讨论思想，难度中档．

练习册系列答案
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