Question

如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．
（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；
（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由已知PG=PD，得到∠PDG=∠PGD，由切割弦定理得到∠PDA=∠DBA，进一步得到∠EGA=∠DBA，从而∠PFA=∠BDA．最后可得∠BDA=90°，说明AB为圆的直径；
（Ⅱ）连接BC，DC．由AB是直径得到∠BDA=∠ACB=90°，然后由Rt△BDA≌Rt△ACB，得到∠DAB=∠CBA．再由∠DCB=∠DAB可推得DC∥AB．进一步得到ED为直径，则ED长可求．

解答： （Ⅰ）证明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，
由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA，
又∵∠EGA=∠PGD，∴∠EGA=∠DBA，
∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，
从而∠PFA=∠BDA．
又AF⊥EP，∴∠PFA=90°，则∠BDA=90°，
故AB为圆的直径．

（Ⅱ）解：连接BC，DC．
由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°．
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，
于是∠DAB=∠CBA．
又∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．
∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角，
∴ED为直径，又由（1）知AB为圆的直径，
∴DE=AB=5．

点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的切割线定理的应用，是中档题．