Question

某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为p=

2

3

，背诵错误的概率为q=

1

3

，现记“该班级完成n首背诵后总得分为S_n”．
（Ⅰ） 求S₆=20且S_i≥0（i=1，2，3）的概率；
（Ⅱ）记ξ=|S₅|，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量及其分布列

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）当S₆=20时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，分类求概率求和；
（Ⅱ）∵ξ=|S₅|的取值为10，30，50，又p=

2

3

，q=

1

2

，从而分别求概率以列出分布列，再求数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）当S₆=20时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，
若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；
若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对2首，
此时的概率为：p=(

2

3

)2×

C

2 4

×(

2

3

)2×(

1

3

)2+

2

3

×

1

3

×

2

3

×

C

2 3

×(

2

3

)2×

1

3

=

16

81

；
（Ⅱ）∵ξ=|S₅|的取值为10，30，50，
又p=

2

3

，q=

1

2

，
∴P(ξ=10)=

C

3 5

(

2

3

)3(

1

3

)2+

C

2 5

(

2

3

)2(

1

3

)3=

40

81

，
P(ξ=30)=

C

4 5

(

2

3

)4(

1

3

)1+

C

1 5

(

2

3

)1(

1

3

)4=

30

81

，
P(ξ=50)=

C

5 5

(

2

3

)5+

C

0 5

(

1

3

)5=

11

81

．
∴ξ的分布列为：

ξ	10	30	50
x2 2 +y2=1	40 81	30 81	11 81

∴Eξ=10×

40

81

+30×

30

81

+50×

11

81

=

1850

81

．

点评：本题考查了概率的求法及分布列的列法及数学期望的求法，属于基础题．