Question

如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P是以A为圆心，AB为半径的圆弧BD上的任意一点，设∠PAB=θ，向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

（λ，μ∈R），若μ-λ=1，则θ=

 

．

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，建立直角坐标系．不妨设正方形ABCD的边长为1．则A（0，0），D（0，1），C（1，1），P（cosθ，sinθ），E(

1

2

，0)．由于向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

（λ，μ∈R），又μ-λ=1，可得

AC

=λ

DE

+(1+λ)

AP

，化为

PC

=λ(

DE

+

AP

)．再利用向量共线定理即可得出．

解答： 解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设正方形ABCD的边长为1．
则A（0，0），D（0，1），C（1，1），P（cosθ，sinθ），E(

1

2

，0)．
∴

PC

=(1-cosθ，1-sinθ)，

DE

=(

1

2

，-1)，

AP

=（cosθ，sinθ）．

DE

+

AP

=(

1

2

+cosθ，-1+sinθ)．
∵向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

（λ，μ∈R），又μ-λ=1，
∴

AC

=λ

DE

+(1+λ)

AP

，化为

PC

=λ(

DE

+

AP

)．
∴（1-cosθ）（-1+sinθ）-(1-sinθ)(

1

2

+cosθ)=0，
化为sinθ=1，
∵θ∈[0°，90°]，∴θ=90°．
故答案为：90°．

点评：本题考查了向量的坐标运算和向量共线定理，属于基础题．