Question

在△ABC中，己知

AB

•

AC

=9，sinB=sinCcosA，又△ABC的面积为6
（1）求△ABC的三边长；
（2）若D为BC边上的一点，且CD=1，求tan∠BAD．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的正切函数

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用两角和的正弦公式、数量积运算和三角形的面积公式、勾股定理即可得出；
（2）由两角和差的正切公式即可得出．

解答： 解（1）设三边分别为a，b，c．
∵sinB=sinCcosA，
∴sin（A+C）=sinCcosA，
化为sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA，
∴sinAcosC=0，
∴cosC=0，∴C=

π

2

．
又

AB • AC =| AB || AC |cosA=9 S= 1 2 | AB || AC |sinA=6

两式相除可得tanA=

4

3

=

a

b

令a=4k，b=3k（k＞0），
∴S=

1

2

ab=6，∴

1

2

×4k×3k=6，解得k=1．
∴三边长分别为3，4，5，
（2）由（1）可得：tan∠BAC=

4

3

，tan∠DAC=

1

3

，
∴tan∠BAD=tan（∠BAC-∠DAC）=

tan∠BAC-tan∠DAC

1+tan∠BACtan∠DAC

=

4 3 - 1 3

1+ 4 3 × 1 3

=

9

13

．

点评：本题考查了两角和的正弦公式、数量积运算和三角形的面积公式、勾股定理、两角和差的正切公式等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于难题．