Question

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量

m

=（cosB，1-2sin²

C

2

）与向量

n

=（2a-b，c）共线．
（1）求角C的值；
（2）若a+b=1，求边c的取值范围；
（3）若B=2A，试求（

3

sin2A

-

1

cos2A

）•

1

cosB

的值．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标及两向量共线，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理后根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将cosC与b=1-a代入，利用二次函数的性质求出c的范围即可；
（3）由内角和定理及B=2A，求出A与B的度数，代入原式计算即可求出值．

解答： 解：（1）由题知，cosB•c=（2a-b）（1-2sin²

C

2

），即cosB•c=（2a-b）cosC，
由正弦定理有：sinCsinB=（2sinA-sinB）cosC，
展开整理得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，
即sin（B+C）=sinA=2sinAcosC，
∵sinA≠0，∴cosC=

1

2

，
又∵C为三角形的内角，
∴C=60°；
（2）∵a+b=1，C=

π

3

，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=a²+（1-a）²-a（1-a）=3a²-3a+1=3（a-

1

2

）²+

1

4

，
又0＜a＜1，∴

1

4

≤c²＜1，
则

1

2

≤c＜1；
（3）∵A+B+C=π，C=

π

3

，且B=2A，
∴A=40°，B=80°，
∴原式=（

3

sin240°

-

1

cos240°

）•

1

cos80°

=

( 3 cos40°-sin40°)( 3 cos40°-sin40°)

(sin40°cos40°)2

•

1

cos80°

=

2sin20°•2sin100°

1 4 sin280°cos80°

=

2sin160°•2sin100°

1 8 sin80°sin160°

=

32sin100°

sin80°

=32．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．