Question

已知函数f（x）=lnx+

a

x+1

，a为常数，若a=

9

2

，求函数f（x）在（1，e）上的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：对函数解析式求导，判断导函数在区间上的正负，进而判断出函数的单调新，求得函数的最大和最小值．

解答： 解：f′（x）=

1

x

-

9 2

(x+1)2

=

x2+2x+1- 9 2 x

x(x+1)2

=

(x- 5 4 )2- 9 16

x(x+1)2

，
∵x∈（1，e），
∴当1＜x＜2时f′（x）＜0，函数f（x）单调减，
当2＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）单调增，
故x=2时，f′（x）=0，函数f（x）取最小值，f（2）=ln2+

3

2

，
f（1）=ln1+

9

4

=

9

4

，f（e）=lne+

9 2

e+1

，f（e）＜f（1），
∴函数的最大值为

9

4

，
故函数f（x）在（1，e）上的值域为[ln2+

3

2

，

9

4

）．

点评：本题主要考查了导函数的应用．在判断函数单调性的问题上，对函数求导进行判断是常用方法，应熟练应用．