Question

下列命题：
①若

a

•

b

=

b

•

c

，则

a

=

c

；
②若

a

与

b

是共线向量，

b

与

c

是共线向量，则

a

与

c

是共线向量；
③若|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，则

a

•

b

=0；
④若

a

，

b

均为非零向量，且方向相反，则|

a

-

b

|=|

a

|-|

b

|．
其中真命题的个数是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：平面向量及应用,简易逻辑

分析：由垂直向量的数量积为0判断①错误；
取

b

是零向量，利用零向量与任意向量共线判断②错误；
分向量

a

，

b

中有零向量和均不是零向量讨论，零向量与任意向量的数量积为0，两个非零向量的和向量与差向量的模相等，可知两向量垂直，由此判断命题③正确；
由共线向量模的关系判断命题④错误．

解答： 解：对于①，对于任意两个向量

a

，

b

，当

a

⊥

b

，

b

⊥

c

时，

a

•

b

=

b

•

c

=0，

a

与

c

不一定相等，命题①错误；
对于②，若向量

b

是零向量，对于任意两个向量

a

，

b

，有

a

与

b

是共线向量，

b

与

c

是共线向量，但

a

与

c

不一定是共线向量，命题②错误；
对于③，若向量

a

，

b

中有零向量，由|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，得

a

•

b

=0．若向量

a

，

b

均为非零向量，
由|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，结合向量加法与减法的三角形法则，可知

a

⊥

b

，则

a

•

b

=0，命题③正确；
对于④，若

a

，

b

均为非零向量，且方向相反，则

a

与-

b

方向相同，|

a

-

b

|=|

a

|+|

b

|，命题④错误．
∴其中只有③为真命题．
故答案为：1．

点评：本题考查命题的真假判断与运用，考查了与向量有关的基本概念，是中档题．