Question

若函数f（x）=x²-8lnx在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内是单调函数，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的单调性与导数的关系

专题：导数的综合应用

分析：先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解方程fˊ（x）=0，求出f（x）的单调区间，根据子区间（k-1，k+1）是单调函数，建立不等关系，解之即可．

解答： 解：∵f（x）定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2x-

8

x

=

2(x+2)(x-2)

x

，
令f′（x）=0，解得，x=2，
当f′（x）＜0时，f（x）在（0，2）单调递减，
当f′（x）＞0时，f（x）在（2，+∞）单调递增，
∵f（x）在（k-1，k+1）内是单调函数，
∴

k-1≥0 k+1≤2

，或k-1≥2，
解得，k=1或k≥3．
故答案为：{1}∪[3，+∞），

点评：题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．属于基础题．