Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f（x）-x=0}．
（1）若f（0）=2，且A={1，2}，求a，b，c；
（2）在（1）的条件下，求M和m的值；
（3）若A={2}，且a≥1，记g（a）=M-m，求g（a）的解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（0）=2，求得c，再由A={1，2}得1，2是方程ax²+（b-1）x+c=0的两根，运用韦达定理，即可得到a，b；
（2）运用二次函数的对称轴和区间的关系，即可得到M，m；
（3）运用韦达定理，求得b，c都用a表示，再由二次函数的对称轴和区间的关系，即可得到g（a）．

解答： 解：（1）f（0）=c=2，
由 A={1，2}得1，2是方程ax²+（b-1）x+c=0的两根，
由韦达定理 

1+2=- b-1 a 1×2= c a

得：a=1，b=-2，c=2．
（2）f（x）=x²-2x+2的对称轴为x=1，开口向上，
当x∈[-2，2]时，m=f（1）=1，M=f（-2）=10；
（3）由A={2}，得ax²+（b-1）x+c=0有2个相等实根2，
∴

2+2=- b-1 a 2×2= c a

即

b=1-4a c=4a

∴f（x）=ax²+（1-4a）x+4a，
其对称轴为x=-

1-4a

2a

=2-

1

2a

开口向上，
∵a≥1∴0＜

1

2a

≤

1

2

∴

3

2

≤2-

1

2a

＜2
∴m=f(2-

1

2a

)=2-

1

4a

M=f（-2）=16a-2，
∴g(a)=M-m=16a+

1

4a

-4．

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查二次方程的韦达定理及运用，考查运算能力，属于中档题．