Question

若x∈[2，+∞），不等式（m-m²）x+x²+1＞0恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：根据题意将不等式转化为m2-m＜x+

1

x

，构造函数f（x）=x+

1

x

，利用导数求其在[2，+∞）上的最小值，恒成立命题等价于m2-m＜

5

2

，解不等式即可确定m的范围．

解答： 解：∵x∈[2，+∞），
∴不等式（m-m²）x+x²+1＞0可化为
m2-m＜x+

1

x

，
令f（x）=x+

1

x

，则f′(x)=1-

1

x2

，
∵x≥2，
∴f′(x)=1-

1

x2

＞0，
∴f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[2，+∞）的最小值为f（2）=

5

2

，
∴不等式（m-m²）x+x²+1＞0恒成立等价于
m2-m＜

5

2

，
解得

1- 11

2

＜m＜

1+ 11

2

，
故答案为：(

1- 11

2

，

1+ 11

2

)．

点评：本题考查导数在函数最值中的应用，以及恒成立问题的转化，属于中档题．