Question

若不等式2x-1＞m（x²-1）对任意m∈[-2，2]恒成立，则x∈

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：不等式对任意m恒成立，可把m看作变量，x为常数，构造一次函数f（m），根据其单调性得到不等式组，再解出即可．

解答： 解：不等式2x-1＞m（x²-1）可化为
m（x²-1）-2x+1＜0…①
当x=1时，①式即-1＜0，显然成立，
当x=-1时，①式即3＜0，显然不成立，
当x=±1时，令f（m）=m（x²-1）-2x+1，
由一次函数性质知，
不等式2x-1＞m（x²-1）对任意m∈[-2，2]恒成立等价于，

f(-2)＜0 f(2)＜0

，即

-2x2-2x+3＜0 2x2-2x-1＜0

，
解得，(

7 -1

2

，

3 +1

2

)，
∴x∈，(

7 -1

2

，

3 +1

2

)．
故答案为：(

7 -1

2

，

3 +1

2

)．

点评：本题主要考查转化思想，即确定主元，同时考查构造函数思想，应用函数的性质解决，解题时还应对参数进行讨论，是一道很好的题目，属于中档题．