Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，O是AB中点，PO⊥平面ABCD，PO=CD=DA=

1

2

AB=4，M是PA中点．
（1）证明：平面PBC∥平面ODM；
（2）求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出四边形OBCD是平行四边形，从而得到BC∥OD．进而得到OD∥平面PBC，OM∥平面PBC，由此能够证明平面PBC∥平面ODM．
（2）以O为原点，BA方向为x轴，以平面ABCD内过O点且垂直于AB方向为y轴，以OP方向为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．

解答： （1）证明：∵BC=CD=DA，PO=CD=DA=

1

2

AB=4，M是PA中点．
∴BO=OA=CD=DA=4，
∵底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，…（2分）
∵CD平行且等于BO，∴四边形OBCD是平行四边形，
∴BC∥OD．
∵AO=BO，AM=PM，∴OM∥PB，
又∵BC∥OD，∴OD∥平面PBC，OM∥平面PBC，
∴平面PBC∥平面ODM．…（6分）
（2）以O为原点，BA方向为x轴，以平面ABCD内过O点且垂直于AB方向为y轴，
以OP方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则P（0，0，4），B（-4，0，0），A（4，0，0），
C（-2，-2

3

，0），D（2，-2

3

，0），…（8分）
∴

PB

=（-4，0，-4），

BC

=（2，-2

3

，0），
设平面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PB =-4x-4z=0 n • BC =2x-2 3 y=0

，
取x=

3

，得

n

=(

3

，1，-

3

)，
又

PA

=(4，0，-4)，

AD

=(-2，-2

3

，0)，
设平面PAD的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
则

m • PA =4x1-4z1=0 m • AD =-2x1-2 3 y1=0

，
取x1=

3

，得

m

=(

3

，-1，

3

)，
设平面PBC与平面PAD所成锐二面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

3-1-3

7 • 7

|=

1

7

，
∴平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为

1

7

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．