Question

已知向量

a

=（cosx-sinx，cosx+sinx），

b

=（cosx，-sinx），

c

=（2，1），其中x∈[0，π]．
（Ⅰ）若（3

a

+4

b

）∥

c

，求x；
（Ⅱ）设函数f（x）是

a

在

b

方向上的投影，在给出的直角坐标系中，画出y=f（x）在[0，π]的图象．

Answer 1

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由已知计算3

a

+4

b

，由（3

a

+4

b

）∥

c

，求得cosx=sinx，从而得x的值；
（Ⅱ）化简f（x）的解析式，列出f（x）在[0，π]的6个关键点，画出图象即可．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，得3

a

+4

b

=（7cosx-3sinx，3cosx-sinx）；
∵（3

a

+4

b

）∥

c

，又

c

=（2，1），
∴7cosx-3sinx-2（3cosx-sinx）=0，
化简，得cosx=sinx，
∴tanx=1；
∵x∈[0，π]，
∴x=

π

4

；
（Ⅱ）∵f（x）=

a • b

| b |

=（cosx-sinx）cosx+（cosx+sinx）（-sinx）
=cos²x-sin²x-2sinxcosx
=cos2x-sin2x
=

2

（

2

2

cos2x-

2

2

sin2x）
=

2

cos（2x+

π

4

），
列表如下：；
∴画出y=f（x）在[0，π]的图象为

点评：本题考查了向量与三角函数相结合的有关问题，解题时应按照向量的运算法则以及三角函数的知识，进行解答，是基础题．