Question

如图所示的几何体中，四边形ABCD与DBFE均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（Ⅰ）求证：FC∥平面EAD；
（Ⅱ）求直线FA与平面FBC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出BC∥平面ADE，BF∥∥平面ADE，由此证明平面ADE∥平面BCF，从而得到FC∥平面EAD．
（Ⅱ）连接AC，设AC∩BD=O，连接FO，由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出直线FA与平面FBC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴BC∥AD，
∵AD?平面ADE，BC不包含于平面ADE，
∴BC∥平面ADE，…（2分）
同理BF∥∥平面ADE，…（3分）
∵BC∩BF=B，
∴平面ADE∥平面BCF，…（4分）
∵FC?平面BCF，∴FC∥平面EAD．…（5分）
（Ⅱ）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
设AC∩BD=O，连接FO，
∵FA=FC，O为AC中点，∴FO⊥AC，
∵四边形BDEF是菱形，且∠DBF=60°，
∴△DBF为等边三角形
∵O为BD中点，∴FO⊥BD，
∴FO⊥平面ABCD，…（6分）
∴OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，…（7分）
设AB=2，∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴BD=2，
∴OB=1，OA=OF=

3

，
∴O（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），
F（0，0，

3

），D（0，-1，0），
∴

CB

=（

3

，1，0），

BF

=（0，-1，

3

），
设

n

=（x，y，z）为平面FBC的法向量，
则有

n • CB = 3 x+y=0 n • BF =-y+ 3 z=0

，
取y=-

3

，得

n

=(1，-

3

，-1)．…（9分）
又∵

FA

=（

3

，0-

3

），设直线FA与平面FBC所成的角为θ，
∴sinθ=|cos＜

FA

，

n

＞|=

3 + 3

5 • 6

=

10

5

．
∴直线FA与平面FBC所成角的正弦值为

10

5

．…（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．