Question

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F在线段CD上．
（Ⅰ）若FD=2FC，试判断直线AF与平面BCE的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）当二面角B-AF-E的平面角的正弦值为

5

5

时，求

CF

CD

的值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（Ⅰ）取CE的中点G，连结FG，BG，由题设条件推导出四边形GFAB为平行四边形，由此能证明AF∥平面BCE．
（Ⅱ）以A为坐标原点，以AC为x轴，在平面ACD内过A垂直于AC的直线为y轴，以AB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出

CF

CD

的值．

解答： （Ⅰ）证明：取CE的中点G，连结FG，BG，
∵FD=2FC，∴GF∥

1

3

DE，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，
∴CE∥AB，又∵AB=

1

2

DE，∴GF=AB，
∴四边形GFAB为平行四边形，∴AF∥BG，
∵AF不包含于平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（Ⅱ）以A为坐标原点，以AC为x轴，在平面ACD内过A垂直于AC的直线为y轴，以AB为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AD=DE=2AB=2a，则A（0，0，0），C（2a，0，0），B（0，0，a），
D（a，

3

a，0），E（a，

3

a，2a），
设CF=tFD，则F（

t+2

1+t

a，

3 at

1+t

，0），
∴

AE

=（a，

3

a，2a），

AF

=（

t+2

1+t

a，

3 at

1+t

，0），
设平面AFE的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AF = t+2 1+t ax+ 3 at 1+t ay=0 n • AE =ax+ 3 ay+2az=0

，
取y=-

3

，得

n

=（

3t

t+2

，-

3

，

3

t+2

），
由题意知平面BAF的法向量为

CD

=（-a，

3

a，0），
∵二面角B-AF-E的平面角的正弦值为

5

5

，
∴|cos＜

CD

，

n

＞|=|

-a• 3t t+2 -3a

( 3t t+2 )2+3+( 3 t+2 )2 •2a

|=

1-( 5 5 )2

，
解得t=1，
∴

CF

CD

=

1

2

．

点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断与证明，考查两条线段的比值的计算，解题时要注意空间位置关系的判断，注意空间思维能力的培养．