Question

已知在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为

x=t-3 y= 3 t

（t为参数），曲线C的参数方程为

x=2+cosθ y=sinθ

（θ为参数）．
（1）求直线和曲线C的普通方程；
（2）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由直线的参数方程

x=t-3 y= 3 t

（t为参数），把t=x+3代入y=

3

t，即可得出直线的普通方程；由曲线C的参数方程为

x=2+cosθ y=sinθ

（θ为参数）．利用sin²θ+cos²θ=1可得曲线C的普通方程．
（2）圆心C（2，0）到直线

3

x-y+3

3

=0的距离d=

|2 3 +3 3 |

2

=

5 3

2

；即可点P到直线的距离的取值范围是[d-r，d+r]．

解答： 解：（1）由直线的参数方程

x=t-3 y= 3 t

（t为参数），把t=x+3代入y=

3

t，化为直线的普通方程为：

3

x-y+3

3

=0；
由曲线C的参数方程为

x=2+cosθ y=sinθ

（θ为参数）．利用sin²θ+cos²θ=1可得曲线C的普通方程为：（x-2）²+y²=1．
（2）圆心C（2，0）到直线

3

x-y+3

3

=0的距离d=

|2 3 +3 3 |

2

=

5 3

2

；
∴点P到直线的距离的取值范围是[

5 3

2

-1，

5 3

2

+1]．

点评：本题直线的参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系、同角三角函数的基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．