Question

某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为

1

3

，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．
（1）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
（2）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A，则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，由此能求出某节目的投票结果是最终获一等奖的概率．
（2）所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答： 解：（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A，
则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，
∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为

1

3

，
且三人投票相互没有影响，
∴某节目的投票结果是最终获一等奖的概率：
P（A）=

C

2 3

(

1

3

)2(

2

3

)+

C

3 3

(

1

3

)3=

7

27

．
（2）所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0，1，2，3，
P（X=0）=

C

0 3

(

1

3

)3=

1

27

，
P（X=1）=

C

1 3

(

2

3

)(

1

3

)2=

6

27

，
P（X=2）=

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)=

12

27

，
P（X=3）=

C

3 3

(

2

3

)3=

8

27

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	1 27	2 9	4 9	8 27

E（X）=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．