Question

已知数列{a_n}的前n项和为s_n，a₁=1且s_n=s_n-1+a_n-1+

1

2

，数列{b_n}满足b₁=-30．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n-a_n}是公比为

1

2

的等比数列，求{b_n}前n项和T_n的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得{a_n}为首项为1，公差为

1

2

的等差数列，由此能求出a_n．
（2）由已知得b_n-

n+1

2

=（-30-1）•（

1

2

）^n-1，从而b_n=

n+1

2

-31•(

1

2

)n-1，由此能求出{b_n}前n项和T_n的最小值．

解答： 解：（1）∵a₁=1且S_n=S_n-1+a_n-1+

1

2

，
∴n≥2时，an=an-1+

1

2

，…（2分）
∴{a_n}为首项为1，公差为

1

2

的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

．…（6分）
（2）∵数列{b_n}满足b₁=-30，数列{b_n-a_n}是公比为

1

2

的等比数列，
∴b_n-

n+1

2

=（-30-1）•（

1

2

）^n-1，
∴b_n=

n+1

2

-31•(

1

2

)n-1，…（8分）
∵b_n随n的增大而增大，…（10分），b₄＜0，b₅＞0，
∴{b_n}前n项和T_n的最小值（T_n）_min=T₄=-

409

8

．…（（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．