Question

长为6的线段AB两端点在抛物线x²=4y上移动，在线段AB中点纵坐标的最小值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：空间位置关系与距离

分析：如图所示，设线段AB的中点为M，分别过点A，B，C，作AD⊥x轴，BE⊥x轴，MN⊥x轴，垂足分别为D，E，N．利用梯形的中位线和抛物线的定义可得|MN|=

1

2

（|AD|+|BE|）=

1

2

（|AF|-1+|BF|-1）≥

1

2

（|AB|-2）即可得出．

解答： 解：如图所示，设线段AB的中点为M，

分别过点A，B，C，作AD⊥x轴，BE⊥x轴，MN⊥x轴，垂足分别为D，E，N．
则|MN|=

1

2

（|AD|+|BE|）=

1

2

（|AF|-1+|BF|-1）≥

1

2

（|AB|-2）=

1

2

（6-2）=2．
当且仅当线段AB过焦点时取等号．
故AB的中点到y轴的距离的最小值为2．
故答案为：2

点评：本题考查了抛物线的定义和梯形的中位线定理，考查了分析问题和解决问题的能力．