Question

己知圆C：x²+（y-2）²=5，直线l：mx-y+1=0．
（1）求证：对m∈R，直线l与该圆C总有两个不同交点；
（2）设直线l与圆C交与A、B两点，且|AB|=

19

，求该直线的斜率；
（3）求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆的位置关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）只要证明圆心C到直线l的距离d＜r即可；
（2）利用d²+(

1

2

|AB|)2=r²，解出即可；
（3）设弦AB的中点M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线l的方程与圆的方程联立可得（1+m²）x²-2mx-4=0，可得x₁+x₂=

2m

1+m2

=2x，得到x=

m

1+m2

，
又y=mx+1，消去m即可得出．

解答： （1）证明：圆C：x²+（y-2）²=5，可得圆心C（0，2），半径r=

5

．∴圆心C到直线l的距离d=

|-2+1|

m2+1

≤1＜

5

=r，因此对m∈R，直线l与该圆C总有两个不同交点．
（2）解：∵d²+(

1

2

|AB|)2=r²，∴

1

m2+1

+

19

4

=5，解得m²=3，∴m=±

3

．
∴该直线的斜率k=±

3

．
（3）解：设弦AB的中点M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

mx-y+1=0 x2+(y-2)2=5

，化为（1+m²）x²-2mx-4=0，
可得x₁+x₂=

2m

1+m2

=2x，得到x=

m

1+m2

，
又y=mx+1，∴m=

y-1

x

(x≠0)，代入上述方程可得x=

y-1 x

1+( y-1 x )2

，化为x2+(y-

3

2

)2=

1

4

，x=0时也满足．
∴弦AB的中点M的轨迹方程为x2+(y-

3

2

)2=

1

4

．

点评：本题考查了直线与圆相交问题、点到直线的距离公式、弦长公式、参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．