Question

9．在等差数列{a_n}中，a₁²+a₃=4，且a₅+a₆+a₇=18．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁，a₂，a₄成等比数列，求数列{$\frac{1}{（2n+2）{a}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁²+a₃=4，且a₅+a₆+a₇=18．可得a₁²+a₁+2d=4，a₅+a₆+a₇=3a₆═3（a₁+5d）=18．联立解出即可得出．
（2）由a₁，a₂，a₄成等比数列，可得${a}_{2}^{2}$=a₁•a₄．可得a_n=n．可得：$\frac{1}{（2n+2）{a}_{n}}$=$\frac{1}{（2n+2）•n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁²+a₃=4，且a₅+a₆+a₇=18．
∴a₁²+a₁+2d=4，a₅+a₆+a₇=3a₆═3（a₁+5d）=18．
联立解得a₁=d=1或a₁=-$\frac{8}{5}$，d=$\frac{38}{25}$．
∴a_n=1+（n-1）=n，或a_n=-$\frac{8}{5}$+$\frac{38}{25}$（n-1）=$\frac{38n-78}{25}$．
（2）∵a₁，a₂，a₄成等比数列，∴${a}_{2}^{2}$=a₁•a₄．
∴a_n=n．
∴$\frac{1}{（2n+2）{a}_{n}}$=$\frac{1}{（2n+2）•n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{$\frac{1}{（2n+2）{a}_{n}}$}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{2n+2}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．