Question

18．已知直线l₁：y=kx-1与双曲线x²-y²=1的左支交于A、B两点．
（1）求斜率k的取值范围；
（2）若直线l₂经过点P（-2，0）及线段AB的中点Q且l₂在y轴上截距为-16，求直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）直线方程与双曲线方程联立得（1-k²）x²+2kx-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直线l₁与双曲线左支交于A，B两点，可得$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x_1}+{x_2}＜0}\\{{x_1}{x_2}＞0}\end{array}}\right.即\left\{{\begin{array}{l}{4{k^2}+8（{1-{k^2}}）＞0}\\{\frac{2k}{{{k^2}-1}}＜0}\\{\frac{2}{{{k^2}-1}}＞0}\end{array}}\right.$，解出即可得出．
（2）由已知得直线l₂的方程为：8x+y+16=0，设Q（x₀，y₀），利用中点坐标公式与根与系数的关系可得Q坐标，代入直线l₂的方程解出即可得出．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1-k²）x²+2kx-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{2k}{{{k^2}-1}}，{x_1}{x_2}=\frac{2}{{{k^2}-1}}$，
∵直线l₁与双曲线左支交于A，B两点，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x_1}+{x_2}＜0}\\{{x_1}{x_2}＞0}\end{array}}\right.即\left\{{\begin{array}{l}{4{k^2}+8（{1-{k^2}}）＞0}\\{\frac{2k}{{{k^2}-1}}＜0}\\{\frac{2}{{{k^2}-1}}＞0}\end{array}}\right.$
解得：$-\sqrt{2}＜k＜-1$．
（2）由已知得直线l₂的方程为：8x+y+16=0，设Q（x₀，y₀），
则${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{k}{{{k^2}-1}}，{y_0}=k{x_0}-1=\frac{1}{{{k^2}-1}}$，
∵Q在直线l₂，∴$\frac{8k}{{{k^2}-1}}+\frac{1}{{{k^2}-1}}+16=0$，化简得：16k²+8k-15=0，
分解因式得：（4k+5）（4k-3）=0，
∴$k=-\frac{5}{4}或k=\frac{3}{4}$，
又∵$-\sqrt{2}＜k＜-1$，∴$k=-\frac{5}{4}$，
∴直线l₁的方程为：$y=-\frac{5}{4}x-1$．

点评 本题考查了直线与双曲线相交问题、中点坐标公式、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．