Question

20．如图1是图2的三视图，三棱锥B-ACD中，E，F分别是棱AB，AC的中点．

（1）求证：BC∥平面DEF；
（2）求三棱锥A-DEF的体积．

Answer 1

分析 （1）根据E，F分别是AB，AC的中点得到EF∥BC，应用判定定理即得证．
（2）由图1得CD⊥AB，BD⊥AD，BD⊥CD，得到BD⊥平面ACD．取AD的中点G，连接EG，求得$EG=\frac{3}{2}$，进一步计算体积．

解答 证明：（1）∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵BC?平面DEF，EF?平面DEF，
∴BC∥平面DEF．…（4分）
解：（2）∵如图1得CD⊥AB，BD⊥AD，BD⊥CD，
又∵CD∩AD=D，
∴BD⊥平面ACD．…（8分）
取AD的中点G，连接EG，
∵E是AB的中点，
∴$EG\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}BD$．
∴EG⊥平面ACD，$EG=\frac{3}{2}$，
∴${V_{A-EDF}}={V_{E-ADF}}=\frac{1}{3}{S_{△ADF}}•EG=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．