Question

4．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=12$，则抛物线的方程为y²=2x．

Answer 1

分析 判断F为A，B的中点，设出B，求出A，C坐标，利用向量的数量积求解即可．

解答 解：过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线
在第一象限的交点为A，
与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，
若$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{FB}$，可知F（$\frac{p}{2}，0$）是AB的中点，设B（$-\frac{p}{2}$，-n）n＞0，则A（$\frac{3P}{2}，n$），
C（-$\frac{p}{2}$，n），$\overrightarrow{BA}$=（2p，2n，$\overrightarrow{BC}$=（0，2n），
$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=12$，可得：4n²=12，解得n=$\sqrt{3}$，|BC|=2$\sqrt{3}$
|AF|=|AC|=2p=$\frac{\frac{1}{2}|BC|}{sin60°}$=2．
所求抛物线方程为：y²=2x．
故答案为：y²=2x．

点评 本题考查抛物线的可的性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．