Question

已知圆A的方程为（x+1）²+y²=16，点B的坐标为（1，0），P是圆A上任意一点，线段BP的垂直平分线与AP交于点C．
（10求点C的轨迹方程；
（2）设直线x=-1与曲线C的一个交点为M，若在C上有两个动点E、F，且直线ME与MF关于直线x=-1对称，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：压轴题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知|QP|=|QB|，Q在线段PA上，利用椭圆的定义，可求曲线C的方程；
（2）设直线ME方程代入椭圆方程，利用点M（-1，

3

2

）在椭圆上，可求E的坐标，利用直直线ME与MF关于直线x=-1对称，可求F的坐标，从而可得直线EF的斜率，问题得解．

解答： （1）解：由已知|QP|=|QB|，Q在线段PA上，所以|AQ|=|QP|=4，|AQ|+|QB|=4
所以点C的轨迹是椭圆，2a=4，a=2，2c=2，c=1，∴b²=3，
所以C点的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）证明：由题意，设M（-1，

3

2

），设直线ME方程：得y=k（x+1）+

3

2

，
代入椭圆方程，消元可得（3+4k²）x²+4k（3+2k）x+4（k+

3

2

）²-12=0
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
因为点M（-1，

3

2

）在椭圆上，
所以x₁=

4(k+ 3 2 )2-12

3+4k2

，y₁=kx₁+

3

2

+k．
又直线ME与MF关于直线x=-1对称，在上式中以-k代k，
可得x₂=

4(-k+ 3 2 )2-12

3+4k2

，y₂=-kx₂+

3

2

-k．
所以直线EF的斜率k_EF=-

1

2

．
即直线EF的斜率为定值，其值为-

1

2

．

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的关系，斜率公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．