Question

正项等比数列{a_n}中，a₁=2，且a₂，a₁+a₂，a₃成等差数列．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 设bn=(1-

2

an

)2+a(1+

1

an

)（n∈N^*），若a∈[0，2]，求数列{b_n}的最小项．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的函数特性,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ） 通过a₂，S₂，a₃成等差，求出q．推出通项公式即可．
（Ⅱ）方法一：通过

1

2n

=t∈{

1

2

，

1

4

，

1

8

，…，

1

2n

，…}，利用二次函数的对称轴，讨论a的值，通过函数的单调性求出函数的最值，得到数列的最小项．
方法二：通过b_n+1-b_n比较大小，判断函数的单调性，讨论a的值，通过函数的单调性求出函数的最值，得到数列的最小项．

解答： 解：（Ⅰ） 由a₂，S₂，a₃成等差，有2S₂=a₂+a₃，2（a₁+a₂）=a₂+a₃，
a₃=2a₁+a₂，a1q2=2a₁+a₁q，q²-q-2=0，q=-1，q=2，
由a_n＞0，q=2．
故an=2n．

（Ⅱ）方法一：bn=(1-

2

2n

)2+a(1+

1

2n

)，
令

1

2n

=t∈{

1

2

，

1

4

，

1

8

，…，

1

2n

，…}，
则bn=(1-2t)2+a(1+t)=4t²+（a-4）t+a+1，
对称轴t=

a-4

-8

=

4-a

8

，
①当0≤a＜1时，对称轴t=

4-a

8

＞

3

8

，数列{b_n}单调递增，最小项为b1=

3

2

a；
②当a=1时，对称轴t=

4-a

8

=

3

8

，恰好位于

1

2

与

1

4

的中间，则b₁=b₂，
故n＞1时，数列{b_n}单调递增，最小项为b1=b2=

3

2

；
③当1＜a≤2时，对称轴t=

4-a

8

∈[

1

4

，

3

8

)，位于

1

2

与

1

4

之间而靠近于

1

4

，
故n＞1时，数列{b_n}单调递增，b₁＞b₂，最小项为b2=

5

4

a+

1

4

．
方法二：由bn=(1-

2

an

)2+a(1+

1

an

)=(1-

2

2n

)2+a(1+

1

2n

)，
则bn+1=(1-

2

2n+1

)2+a(1+

1

2n+1

)，
bn+1-bn=(1-

2

2n+1

)2+a(1+

1

2n+1

)-(1-

2

2n

)2-a(1+

1

2n

)
=(2-

2

2n+1

-

2

2n

)(

2

2n

-

2

2n+1

)+a(

1

2n+1

-

1

2n

)=(

1

2n+1

-

1

2n

)(a-4+

4

2n+1

+

4

2n

)，
由

1

2n+1

-

1

2n

＜0，
①当a-4+

4

2n+1

+

4

2n

＜0，得a＜4-

4

2n+1

-

4

2n

，
函数f(n)=4-

4

2n+1

-

4

2n

单调递增，即a＜f（1）=1，b_n+1-b_n＞0，数列{b_n}单调递增，
最小项为b1=

3

2

a；
②当a=1时，b₂-b₁=0，n＞1，a-4+

4

2n+1

+

4

2n

=

4

2n+1

+

4

2n

-3＜0，b_n+1-b_n＞0，
故n＞1时，数列{b_n}单调递增，最小项为b1=b2=

3

2

； 
③由b3-b2=(

1

23

-

1

22

)(a-4+

4

23

+

4

22

)=0，求得a=

5

2

，则当1＜a≤2＜

5

2

时，b1=

3

2

a，b2=

5

4

a+

1

4

，b1-b2=

1

4

a-

1

4

＞0，b₁＞b₂，n＞1，a-4+

4

2n+1

+

4

2n

≤

4

2n+1

+

4

2n

-2＜0，
得b_n+1-b_n＞0，
故n＞1时，数列{b_n}单调递增，最小项为b2=

5

4

a+

1

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，老师的函数特征，数列与不等式相结合，求解数列的最小值，考查分析问题解决问题的能力．