Question

16．已知三个数1，a，9成等比数列，则圆锥曲线$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{2}=1$的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5}$或$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$或$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$

Answer 1

分析 由已知求得a值，然后分类讨论求得圆锥曲线$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{2}=1$的离心率．

解答 解：∵三个数1，a，9成等比数列，
∴a²=9，则a=±3．
当a=3时，曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，表示椭圆，则长半轴长为$\sqrt{3}$，半焦距为1，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
当a=-3时，切线方程为$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{3}=1$，实半轴长为$\sqrt{2}$，半焦距为$\sqrt{5}$，离心率为$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆、双曲线的简单性质，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．