Question

已知定义在实数集R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且当x∈[0，1]时，f（x）=x²，则关于x的方程f（x）=

1

2

|x|在[-1，2]上根的个数是（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：关于x的方程f（x）=

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2

|x|在[-1，2]上根的个数，即函数y=f（x）和y=

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2

|x|的图象交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数的图象，可得答案．

解答： 解：∵函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），
即f（x+2）=f（x），
故函数是以2为周期的周期函数，
又由函数f（x）为定义在实数集R上的偶函数，
且当x∈[0，1]时，f（x）=x²，
故在[-1，2]上，函数y=f（x）和y=

1

2

|x|的图象如下所示：

由图可知：两个函数的图象共有4个交点，
故关于x的方程f（x）=

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2

|x|在[-1，2]上有4个根，
故选B．

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点与方程的根，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．