Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，O∈AD，AD∥BC，AB⊥AD，AO=AB=BC=1，PO=$\sqrt{2}$，$PC=\sqrt{3}$．
（I）证明：平面POC⊥平面PAD；
（II）若CD=$\sqrt{2}$，三棱锥P-ABD与C-PBD的体积分别为V₁、V₂，求证V₁=2V₂．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出OC⊥AD，OC⊥PO，OC⊥平面PAD，由此能证明平面POC⊥平面PAD．
（Ⅱ）推导出OC⊥OD，AD=2，设点P到平面ABCD的距离为h，由平行线BC与AD之间的距离为1，能证明V₁=2V₂．

解答 证明：（Ⅰ）在四边形OABC中，
∵AO∥BC，AO=BC，AB⊥AD，
∴四边形OABC是正方形，得OC⊥AD，（2分）
在△POC中，∵PO²+OC²=PC²，∴OC⊥PO，（4分）
又PO∩AD=O，∴OC⊥平面PAD，
又OC?平面POC，
∴平面POC⊥平面PAD．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，四边形ABCO为正方形，
∴OC=AB=1，OC⊥OD，（8分）
∴$OD=\sqrt{C{D^2}-O{C^2}}=1$，从而AD=2，（9分）
设点P到平面ABCD的距离为h，∵平行线BC与AD之间的距离为1，
∴$\frac{V_1}{V_2}=\frac{{\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•h}}{{\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•h}}=\frac{{{S_{△ABD}}}}{{{S_{△BCD}}}}=\frac{{\frac{1}{2}AD•1}}{{\frac{1}{2}BC•1}}=\frac{AD}{BC}=2$，（11分）
即V₁=2V₂．（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查两几何体体积的数量关系的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．