Question

19．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF₂是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． $（1，1+\sqrt{2}）$
• C． $（1，\sqrt{3}）$
• D． $（1-\sqrt{2}，1+\sqrt{2}）$

Answer 1

分析 由过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为锐角三角形，△ABF₂为锐角三角形只要∠AF₂B为锐角即可，由此可知$\frac{{b}^{2}}{a}$＜2c，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：由题设条件可知△ABF₂为等腰三角形，
若△ABF₂是锐角三角形，
只要∠AF₂B为锐角，
即∠AF₂B＜45°，
即AF₁＜F₁F₂即可；
当x=-c时，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
设A（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$＜2c，
即2ac＞c²-a²，
得e²-2e-1＜0
解出e∈（1，1+$\sqrt{2}$），
故选：B．

点评 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．根据条件得到∠AF₂B＜45°是解决本题的关键．