Question

已知圆锥的母线长为10cm，底面半径为5cm，
（1）求它的高；
（2）若该圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的体积．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据圆锥的定义，利用勾股定理加以计算，可得圆锥的高等于5

3

cm；
（2）作出圆锥的轴截面如图，根据球与侧面、底面相切，利用相似三角形的性质列式列式，算出内切球的半径R，进而利用球的体积公式可算出答案．

解答： 解：（1）设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
∵l=10cm，r=5cm，∴h=

l2-r2

=

100-25

=5

3

cm
即圆锥的高等于5

3

cm；
（2）作出圆锥的轴截面如图，球于圆锥侧面相切，
则OE⊥AB于E，BD⊥AD于D，OE=OD=R，（R为球的半径）
则△AEO～△ADB，可得

OE

BD

=

AO

AB

，即

R

5

=

5 3 -R

10

，
解之得球半径R=

5 3

3

cm，
因此球的体积V=

4πR3

3

=

4π

3

×(

5 3

3

)3=

500 3 π

27

cm³．
答：（1）圆锥的高等于5

3

cm；（2）球的体积等于

500 3 π

27

cm³．

点评：本题给出圆锥满足的条件，求它的高并求内切球的体积．着重考查了圆锥的定义、球的体积公式、相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题．