Question

已知向量

a

=(sinα，-2)与

b

=(1，cosα)，其中α∈(0，

π

2

)．
（1）问向量

a

，

b

能平行吗？请说明理由；
（2）若

a

⊥

b

，求sinα和cosα的值；
（3）在（2）的条件下，若cosβ=

10

10

，β∈(0，

π

2

)，求α+β的值．

Answer 1

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,平面向量坐标表示的应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量共线定理即可判断出；
（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出；
（3）利用平方关系和两角和差的正弦余弦公式及其单调性即可得出．

解答： 解：（1）向量

a

，

b

不能平行．
若平行，则sinαcosα+2=0，
即sin2α=-4，而-4∉[-1，1]．
∴向量

a

，

b

不能平行．
（2）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=sinα-2cosα=0，
即sinα=2cosα．
又∵sin²α+cos²α=1，
∴4cos²α+cos²α=1，
即cos2α=

1

5

，∴sin2α=

4

5

．
又α∈(0，

π

2

)，sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

．
（3）由（2）知sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

cosβ=

10

10

，β∈(0，

π

2

)，
得sinβ=

3 10

10

．
则cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

5

5

•

10

10

-

2 5

5

•

3 10

10

=-

2

2

．
又α+β∈（0，π），
则α+β=

3π

4

．

点评：本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、三角函数平方关系、两角和差的正弦余弦公式及其单调性．